1. 니가 아는게 아는게 아니야.
우리는 무언가 알기 위해 공부하고 배우며 학습한다.
그게 수학이든, 영어든, 과학이든, 수영이든, 축구든, 야구든, 노래든, 그림이든, 악기든....
이것을 다이어그램으로 나타내면 아래와 같이 나타낼 수 있을 것이다.
학습
모른다 ===========> 안다
혹은 아래와 같이 나타낼 수도 있을 것이다.
안다(들뜬상태)
∧
|| 학습(에너지)
||
모른다(바닥상태)
'안다'라는 상태가 되기 위해서 사람들은 시간과 노력과 에너지를 들여서 공부한다.
이 말을 부정할 사람은 아무도 없을 것이다.
이 상황에서 나는 좀 엉뚱한 질문을 해 보겠다.
그렇다면 과연 '안다'는 것이 무엇인가?
내가 많은 사람들에게 이 질문을 해 보았는데, 막상 이 질문에 제대로 대답하는 사람은 별로 없었다.
그러면 나는 언제나 이렇게 다시 물었다.
너는 '안다'는 것이 무엇인지도 모른채, 지금까지 알기 위해서 공부를 한거냐?
내가 이 질문을 하기 전까지는 대부분의 사람들이
'내가 '안다'는 것이 무엇인지도 모르고 있었다'는 것 조차 인지를 하지 못하고 있었다.
내가 이 질문을 던지면 그때서야 뭔가 깨닫기 시작한다.
아주 가끔 아래와 같은 대답을 하는 사람이 있다.
내용을 읽고 이해하면 아는 것이다.
문제를 풀어서 정답을 맞추면 아는 것이다.
그런데 애석하게도 이것은 '안다고 착각하는 것'이지 아는 것이 아니다.
한번 진지하게 다시 고민해 봐라. '안다'는 것이 과연 무엇인가?
니가 지금까지 '안다'고 생각했던 그것들이 정말 '알고'있었던 것이냐?
아니면 몰랐음에도 불구하고 '안다고 착각'하고 있었던 것이냐?
이러한 현상은 공부 뿐 아니라, 일상 생활에서도 만날 수 있는 부분이다.
어떤 사람이 성공하고 싶대,
그래서 내가 '너는 성공이 뭐라고 생각해?'라고 물으면 대답을 못한다.
그럼에도 불구하고 성공하고 싶데...
어떤 사람이 행복하고 싶대,
그래서 내가 '너는 행복이 뭐라고 생각해?'라고 물으면 대답을 못한다.
그럼에도 불구하고 행복하고 싶데...
공부 잘 하고 싶고, 수학 잘 하고 싶대,
그래서 내가 '너는 '안다'의 기준이 뭐라고 생각해?'라고 물으면 대답을 못한다.
그럼에도 불구하고 공부 잘 하고 싶데...
'안다'의 기준은 여러가지로 생각할 수 있을 것이다.
그 중에 내가 제시하고 싶은 '안다'의 기준은 아래 두 가지이다.
(1) 설명할 수 있다.
(2) 몸이 저절로 반응을 한다. (생각 없이 그 일을 수행 할 수 있다. 무의식의 영역으로 들어왔다.)
이 두가지는 생각 밖으로 매우 강력한 기준이다.
2. 설명할 수 있어야 아는 것이다.
어떤 개념을 설명하기 위해서 두뇌에서는 많은 작업을 수행한다.
그 개념을 머리에 떠올리고, 개념에 대한 그림을 그리고, 그것을 말로 설명하기 위해서 문장을 만들어낸다.
만약 그 개념에 대한 스키마(Schema - 학습의 최소단위)가 완성되었다면,
두뇌는 이러한 과정을 잘 수행해 낼 수 있고 설명을 할 수 있게 된다.
그러나 그 개념에 대한 스키마가 만들어지지 않았다면,
두뇌는 이러한 과정을 수행해내지 못하고 설명을 못하게 된다.
그래서 나는 '안다'의 기준을 '설명할 수 있다'로 정한 것이다.
초.중.고 시험에는 보통 아래와 같은 문제가 나온다.
'임진왜란때 거북선을 만들고 어쩌고 저쩌고.... 한 장군의 이름을 적으시오' - 정답 : 이순신
정답을 맞추었기에 자기가 이순신에 대해서 안다고 착각을 한다. 사실은 아는 것도 없으면서...
대학교 시험에는 보통 아래와 같은 문제가 나온다.
'이순신에 대하여 기술하시오.'
그러면 이순신에 대해서 자기가 알고 있는 것을 다 적어야 한다.
달리 말하면 이순신에 대해서 설명을 할 줄 알아야 한다.
과연 위에서 초.중.고 에서 '이순신'이라고 답한 사람이 이 질문에도 답을 할 수 있을까?
설명을 할 수 있어야 아는 것이다. 설명할 줄 모르면 아는 것이 아니다.
너보다 한 살 어린, 수학 문제를 푸는 가상의 동생을 생각해 보자.(이하 포만한)
니가 수푸동에게 이해할 수 있도록 설명을 할 수 있다면, 너는 그것에 대해서 아는 것이다.
설명을 할 수 없다면, 너는 알지 못하는 것이다.
그러니 수학 공부를 하면서 포만한에게 열심히 설명하고 가르쳐라.
니 스스로 만족할 정도로 설명을 할 수 있을때까지 내용을 반복해서 읽고 설명을 해 주어라.
3. 몸이 저절로 반응을 해야 아는 것이다.
자전거를 배울 때를 생각해 보자.
처음에는 균형 잡는 것에 모든 신경을 집중한다.
균형 잡는 것을 생각하지 않으면 넘어진다.
그러다가 '자전거를 탈 줄 아는' 상태가 되면, 더 이상은 균형 잡는 것을 생각하지 않는다.
균형을 잡는 것에 대해서 몸이 저절로 반응을 하기 때문이다.
생각 없이 균형을 잡을 수 있기 때문이다.
균형 잡는 것이 무의식의 영역으로 들어왔기 때문이다.
가끔 균형이 심하기 흐트러졌을 때는 균형 잡는 것에 집중을 해야 한다.
그러나 대부분의 경우는 더 이상 균형을 잡는 것을 생각하지 않는다.
키보드 자판을 익히는 것을 생각해 보자.
처음에는 '나의 뜻'를 치기 위해서는 'ㄴ' 이 어디있는지 'ㅏ' 가 어디있는지 등을 생각하면서 키보드를 두드린다.
그러다가 '키보드를 칠 줄 아는' 상태가 되면, 더 이상은 자판의 위치를 생각하지 않는다.
키보드를 치는 것에 대해서 몸이 저절로 반응을 하기 때문이다.
생각 없이 키보드를 칠 수 있기 때문이다.
키보드를 치는 것이 무의식의 영역으로 들어왔기 때문이다.
가끔 '뷁욟쑯댥웂삶' 와 같은 글자를 치기 위해서는 키의 위치를 생각하면서 쳐야 한다.
그러나 대부분의 경우는 더 이상 키의 위치는 생각하지 않는다.
니가 수학을 못하는 이유는 지금까지 몰랐던 내용들을 안다고 착각하고 있었기 때문이다.
4. 우리는 알기 위해서 학습을 한다.
나는 설명할 수 있는 것을 머리로 아는 것,
몸이 저절로 반응하는 것을 몸으로 아는 것이라 말하고 싶다.
설명할 수 있으려면 배워야 한다.
그래서 나는 앞 게시글에서 '한 권의 책(교과서)을 읽고 또 읽고 또 읽어라.'라고 강조를 한 것이다.
이게 바로 '학(學)'이다.
몸이 저절로 반응을 하려면 연습을 해야 한다.
그러기 위해서는 문제를 많이 풀어야 한다.
이게 바로 '습(習)'이다.
결국 '학습(學習)'이라는 단어 속에 '안다'의 기준이 들어있을 뿐 아니라,
알기 위해서 우리가 무엇을 해야하는지도 들어있다.
누가 '학습' 이라는 단어를 만들었는지는 모르겠지만, 나는 무척 잘 만든 단어라고 생각한다.
'엥...? 뭐야...? 문제 풀지 말라면서...?' 라는 반응을 보일 수도 있겠다.
내가 문제를 많이 풀라는 것은 특정한 한가지 수행과제를 정하고,
그 부분에 집중해서 반복훈련 하라는 뜻이다.
수학에서는 이러한 반복훈련을 Drill 이라고 한다.
내가 문제를 많이 풀어보라는 것은 Drill 을 많이 하라는 뜻이지, 문제집을 많이 풀어보라는 뜻이 아니다.
책(교과서)에 나와 있는 예제를 많이 풀어 보라.
그 예제에 있는 수를 적당히 바꾸어서 문제를 변형시킨 다음 반복해서 풀어 보라.
이러한 것이 Drill 의 한 가지 방법이 될 것이다.
(애석하게도 대부분의 책에서는 내가 말하는 Drill 을 별로 강조하지 않고 있다.)
복잡한 문제를 푸는 것은 드릴이 아니다.
수행과제가 두 가지 이상이면, 몸이 저절로 반응할 때까지 반복 훈련을 하는 것이 불가능에 가깝다.
수행과제는 한 가지로 족하다.
나는 Drill 을 농구로 비유해서 이렇게 말하고 싶다.
드리블 연습 많이 하고, 슛 연습 많이 해라.
쎈 같은 문제집에 있는 문제들을 겁내 많이 풀어봤자, 위에서 말하는 몸이 저절로 반응하는 상태에 도달하지 않는다.
그러한 문제는 여러가지 수행과제를 동시에 하도록 요구하기 때문이다.
농구로 비유해서, 드리블 하면서 사람 두명 사이를 돌파해서 슛하는 연습과 비슷하다.
이런 연습 많이 한다고 해서 드리블 실력이 늘지도 않고, 슛 실력이 늘지도 않으며, 농구 실력이 늘지도 않는다.
특히 어려운 문제일 수록 더 많은 수행과제를 요구하기에 몸이 저절로 반응하는 상태에 도달하지 않는다.
머리로 알고, 몸으로 알 때까지 열심히 '학습'을 하는 것이,
수학 실력을 빨리 향상시키는 매우 효율적인 방법이다.
'안다'의 기준에 대한 설명을 했으니, 이제는 '공부'라는 것이 무엇인지 설명할 차례이다.
5. 공부는 머리 속에 입력된 데이터(지식)가 사라지지 않도록 하는 것이다.
사람들은 '공부' 하면 책을 읽고, 문제를 풀고, 단어를 외우는 '입력'과정을 떠올린다.
사람들은 공부를 '머리 속에 데이터(지식)를 집어 넣는 것'이라고 생각한다.
물론 이것이 공부가 맞기는 하다. 그러나 '입력'은 공부의 아주 작은 한 부분에 불과하다.
사람은 누구나 잊는다. 그래서 책을 읽고, 문제를 풀고, 단어를 외우면 잊는다.
공부란 입력된 데이터가 '잊지 않도록' 훈련하는 것이다.
다시 말하지만, 공부는 데이터의 '입력'과정이 아닌 데이터의 '유지'과정이다.
그리고 공부의 대부분의 시간과 노력은 데이터를 '유지'하는데 사용해야 한다.
박태환은 수영을 할 줄 아는데도 불구하고 계속 수영을 연습하는 이유가 뭘까?
- 수영하는 감각을 잊지 않기 위해서이다.
김연아는 피겨 스케이팅을 할 줄 아는데도 피겨 연습을 하는 이유가 뭘까?
- 피겨 감각을 잊지 않기 위해서이다.
박찬호는 야구공을 던질 줄 아는데도 불구하고 계속 공을 던지는 이유가 뭘까?
- 공을 던지는 감각을 잊지 않기 위해서이다.
학교 선생님들이 자신의 담당과목을 공부하는 이유가 뭘까?
- 자신이 알고 있는 것을 잊지 않기 위해서이다.
물론, 위에 나열된 사람들에게도 '입력' 과정은 필요하다.
하지만 그들이 소비하는 대부분의 시간과 에너지는 '입력'이 아닌 '유지'에 사용된다는 것을 아는 것이 중요하다.
'그렇다면 데이터를 '유지'한다는 것이 무엇이냐? '
라는 질문을 할 수 있을 것이다.
데이터를 유지하기 위해서는
- 예습이 아닌 복습 위주의 공부
- 여러번의 반복학습을 하는 공부
가 필요하다.
또 다시 강조하지만, 공부는 머리 속에 입력된 데이터가 사라지지 않도록 하는 것이다.
데이터를 유지하기 위해서는 공부를 할 때 '내가 지금 이것을 알고 있는가?'를 끊임 없이 확인하는 과정이 필요하다.
그렇기에 공부를 잘 하려면 '안다'의 판단이 정확해야만 한다.
내가 '안다'라는 판단이 든다면 데이터를 유지하기 위한 공부는 필요하지 않다.
내가 '모른다'라는 판단이 든다면 데이터를 유지하기 위한 공부를 '반복' 해야 한다.
'안다'판단이 정확하지 못하면 아래와 같은 비효율적인 공부를 할 수 밖에 없다.
- (깜지를 쓰듯이) 내가 이미 알고 있는 내용을 필요 이상으로 공부하는 것.
- (자기가 모르는 내용임에도 불구하고) 안다고 착각하고 공부하지 않는 것.
- (앞 단원을 알아야 배울 수 있는 내용임에도) 앞 단원을 안다고 착각하고 공부하지 않는 것.
이 글을 읽는 어떤 사람은
- 맞아, 내가 지금까지 '안다'와 '공부'가 무엇인지 모르고 공부를 하고 있었구나
라고 생각할 것이고 또 다른 어떤 사람은
- 지금 무슨 헛소리를 하는것이냐?
라고 생각할 것이다.
두 종류의 사람 모두, 네이버캐스트에 있는 '메타인지'를 한 번 읽어보길 권한다.
지금까지 '안다'와 '공부'에 대해서 길게 설명을 했으니
이것을 바탕으로 '니가 수학을 못하는 이유'를 계속 이어가겠다.
6. 진도 위주의 수학공부
진도를 빨리 나가는 것은 말 그대로 '수박 겉핥기' 이다.
진도를 나간다는 것은 '입력' 과정에 해당한다.
입력을 많이 했다고, 입력을 빨리 했다고 공부에 도움이 되는 것은 결코 아니라는 것을 알았을 것이다.
입력된 데이터를 유지하려면 '충분한 복습시간'이 필요하다.
진도를 빨리 나가면 당연히 '충분한 복습시간'을 빼앗기게 된다.
그렇기에 진도를 빨리 나가는 것은 공부(데이터 유지)에 오히려 독이 된다.
사교육은 학교교육에 비해서 진도를 빨리 뺀다.
한 학기동안에 배울 내용을 한 달(혹은 두 달) 동안 가르치고, 한 번 더(혹은 두 번 더)가르친다.
반복학습 어쩌고 저쩌고 하지만,
나는 한 학기동안 한 학기과정을 배우는 것이, 진도를 빨리 빼는 것 보다 더 효과적이라고 생각한다.
대안 제시
⇒ 과속을 하지 말고 규정 속도를 지켜라.
더 빨리 공부한다고 너에게 득될 것은 아무 것도 없다. 오히려 해만 될 뿐이다.
진도를 빨리 빼는 것은 공부에 도움이 되지 않는다.
한 학기 과정은 한 학기동안 공부하자.
그 날 학교(학원)에서 배운 내용을 읽고 또 읽고 또 읽어라.
이것이 너의 수학 실력을 올리는 훨씬 쉽고 빠르고 효율적인 방법이다.
7. 선행학습 위주의 수학공부
방학은 선행학습이 아닌 이전 학기 내용의 복습을 하는 시기이다.
사교육에서는 방학 때 다음학기 과정의 진도를 미리 나간다.
초6 겨울 방학때 중1 과정을 먼저 가르치기도 하고
중3 겨울 방학때 고1 과정을 먼저 가르치기도 한다.
공부는 데이터를 유지하는 것이라는 개념이 확실히 세워졌다면,
방학에는 데이터 입력(선행학습)이 아닌 데이터 유지(지난 학기의 복습)을 하는 것이 마땅하다.
간혹 선행학습이 도움이 되는 경우도 있기는 하다.
그러나 내 생각으로는 상위 1%의 실력안에 들지 않는 대부분의 학생들은 선행학습은 오히려 독이 된다.
중학교때 고등학고 1학년 혹은 2학년 과정을 선행학습으로 미리 마친 학생들이 있다.
내 경험으로는 그들 중에 고등학교에 올라가서도 선행학습으로 배운 내용을 기억하고 있는 학생들이 거의 없었다.
더 큰 문제는 중1~중3 과정조차 제대로 기억하지 못한다는 것이다.
피타고라스의 정리 증명, 이차방정식의 근의 공식 유도, 이차함수의 꼭지점 구하는 것 등을 물어보면 대답을 잘 못한다.
선행학습한 내용도 기억 못할 뿐 아니라, 당연히 알고 있어야 할 중학교 내용도 기억을 못하는 것이다.
데이터를 입력하는 것에 시간을 낭비하느라, 데이터를 유지하지 못한 것이다.
그럼 도대체 선행학습으로 얻는게 무엇이란 말인가?
대안 제시
⇒ 선행학습 위주의 수학 공부에서 후행학습 위주의 수학 공부로...
상위 1%를 제외한 99%의 학생들에게는 선행학습은 무의미할 뿐 아니라 오히려 독이 된다.
새로운 데이터를 입력(선행학습)할 시간에, 입력된 데이터를 유지(복습)하는데 사용해라.
방학 때는 한 권의 책(교과서)을 읽고 또 읽고 또 읽을 수 있는 아주 좋은 시기이다.
이것이 너의 수학 실력을 올리는 훨씬 쉽고 빠르고 효율적인 방법이다.
8. 지금까지의 내용 요약
- '안다'는 것은 설명할 줄 아는 것이다.
- '안다'는 것은 몸이 저절로 반응하는 것이다.
- '공부'는 데이터의 '입력'이 아닌 '유지'에 훨씬 더 많은 시간을 할당해야 한다.
- '공부'는 '복습'에 매우 많은 시간을 할당해야 한다. 그러니 읽고 또 읽고 또 읽어라.
위의 내용을 무시하고 공부를 하면, 시간을 많이 투자해도 실력이 늘지 않는다.
지금까지 수백만명의 학생들이 실패한,
검증된(!) 수학공부방법에 대한 설명과 그 대안은 아래와 같다.
- 문제풀이 위주의 수학공부 ⇒ 내용읽기 위주의 수학공부
- 양 위주의 수학공부 ⇒ 질 위주의 수학공부
- 공식 암기 위주의 수학공부 ⇒ 이해와 증명 위주의 수학공부
- 여러권의 책을 읽는 수학공부 ⇒ 한 권의 책(교과서)을 읽고 또 읽고 또 읽는 수학공부
- 어려운 문제 위주의 수학공부 ⇒ 자기 수준에 맞는 문제(교과서의 예제) 위주의 수학공부
- 동영상 강의 위주의 수학공부 ⇒ 한 권의 책(교과서)을 읽고 또 읽고 또 읽는 수학공부
- 진도 위주의 수학공부 ⇒ 교과서의 본래 진도를 따르는 수학공부
- 선행학습 위주의 수학공부 ⇒ 후행학습 위주의 수학공부
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